Cuenta la leyenda que Dido, la fundadora y primera reina de Cártago, hoy Túnez, planteó el problema de encontrar una figura que, con un perímetro fijo, daba la máxima área posible.
¿Cuál es esa figura? ¿Para qué la quería? Algunos ya quizá estén pensando en la figura, pero, no sean impacientes y escuchen la leyenda.
El padre de Dido era un rey de la ciudad de Tiro, y cuando murió quedaron como herederos de su reino sus hijos Dido y Pygmalion. Sin embargo, el pueblo solamente reconocía a Pygmalion como su gobernante, por lo que Dido se casó con su tío, Acerbas, sacerdote de Hércules y segundo en poder después del rey Pygmalion. Pasó el tiempo; Pygmalion había oido que Acerbas tenía muchas riquezas. Lo mandó matar, sin encontrar nada. En consecuencia de esto, Dido toma unos sacos de arena y le hace creer a Pygmalion que son la riqueza de Acerbas y los arroja al mar. Dido convence a las personas que la ayudaron (gente que servía al rey Pygmalion) de que abandonaran Tiro, para evitar la ira de Pygmalion. Se incorporan al grupo el sacerdote de Júpiter y varias mujeres y parten.
Al llegar a la costa de África del Norte, Dido le pide a Jarbas, líder de una tribu de libios, hospitalidad y un poco de tierra para instalarse. Entonces, Jarbas les anuncia que les daría la tierra que pudiera abarcar con una piel de buey. Pero, Dido, bastante lista, hace cortar la piel de buey en una tira muy muy larga y delgada, lo que le permite circunscribir una colina entera, abarcando gran parte de la península de Cártago. La mitología siempre es padre, y si la buscan, podrán encontrar, entre otras cosas, como Dido se ofrece a los dioses en una demostración de amor, y es deificada ella misma.
Búsquenla y disfruten, pero ahora veamos la parte matemática del asunto.
En matemáticas hay un problema que se llama problema isoperimétrico que consiste en determinar una figura plana que dé la mayor área posible con un perímetro fijo. También se llama problema de… ¡No recuerdo el nombre! Problema de… Problema de… ¡Ah sí! ¡Problema de Dido! ¿Por qué será?
El problema se puede expresar de la siguiente forma: Dentro de todas las curvas con algún perímetro fijo, ¿qué curva (si la hay) maximiza el área de la región comprendida en ella? Inténtenlo pensar ustedes. Si tienen un hilo a la mano, tómenlo. Asegúrense de que sea una curva cerrada (si no lo es, hagan un nudo.) y jueguen con él. Déjenla caer sobre la mesa. Cuiden que el hilo no se cruze a sí mismo, es decir que no tenga lazadas. Casi les puedo apostar que tiene una forma rara, como una amiba. Tiene concavidades (donde parece que el hilo se mete a la figura, como una hendidura) y convexidades (donde parece que el hilo está completamente por afuera de la figura, como una península). Si toman una de las partes cóncavas y la sacan de la figura, tendrán una figura con el mismo perímetro, pero con una mayor área. Si hacen lo mismo con todas las concavidades, les quedará una elipse o un óvalo, que, con el mismo perímetro tiene mayor área que cualquier figura con concavidades. Pero una elipse podemos pensar que está elongada, es decir, hay más hilo hacia ciertas partes de la elipse. Si, sin generar concavidades jalas el hilo hacia las zonas donde le falte, poco a poco la elipse se irá transformando en… ¡el círculo! Intuitivamente, esto nos muestra que con un perímetro fijo, la figura que maximiza el área es el círculo, y en efecto esto se cumple. (Si quieren una demostración más rigurosa y formal, aquí hay una recopilación de demostraciones de este hecho ). El círculo es la figura que da la mayor cantidad de área con un perímetro limitado. Galileo algún día dijo que las matemáticas es el lenguaje con el que Dios escribió al universo, así que este hecho se debe ver en algún lugar del mundo.
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Una historia del problema isoperimétrico clásico, con geometría elemental
