Solucionario SANTILLANA Bloque Análisis MATEMÁTICAS II

Solucionario Santillana   Análisis para corregir actividades propuestas para el fin de semana!!

Solucionario Cálculo de Primitivas MATEMÁTICAS II

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Solucionario Representación de funciones MATEMÁTICAS II

 Solucionario Representación de funciones

Solucionario Funciones Derivables MATEMÁTICAS II

Solucionario Funciones Derivables

Solucionario La integral Definida MATEMÁTICAS II

Solucionario La integral definida

Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass

TEOREMA DE BOLZANO:
Dada una función f(x) continua en un intervalo [a,b], de tal forma que toma valores opuestos en sus extremos, es decir, f(a)0) y f(b)>0 (análogamente f(b)<0), entonces, podemos afirma que existe un valor c dentro del intervalo abierto (a, b) tal que la función corta el eje de abscisas en ese punto: f(c)=0.
Observación: Que tengan signos opuestos en los extremos también equivale a decir que el producto de ambos tiene que ser negativo: f(a)f(b)<0

Si analizamos gráficamente el enunciado del Teorema de Bolzano, podemos decir, que para toda función continua en un intervalo [a,b], tal que f(a)f(b)<0 entonces existe al menos una raíz para esa función dentro de ese intervalo: c.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE BOLZANO. APROXIMACIÓN DE RAÍCES

Debido a su interpretación gráfica, la principal aplicación del teorema de Bolzano es encontrar raíces o ceros de una función continua por aproximaciones. Los pasos que hay que realizar son los siguientes:

•  Si no nos dan el intervalo [a,b] en el cual se cumple que f(a)f(b)<0, tendríamos que buscar tanteando, dos valores a y b que cumplan nuestra condición. Para que sea más fácil hacer la explicación, supongamos que f(a)0.
•  A continuación, cogemos el punto medio del intervalo c=(a+b)/2. Si f(x)=0 ya tendríamos nuestra raíz. En caso contrario tiene que ser f(c)0, supongamos que f(c)<0, en ese caso, llamamos a´=c, y podemos decir que existe un intervalo [a´,b] donde se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, y por tanto, existe una raíz de la función.
• A partir del intervalo [a´,b] repetiríamos el paso 2, de tal forma que cada vez obtenemos intervalos más pequeños hasta alcanzar el valor de la raíz o la aproximación deseada.

Ejemplo:  Demuestra que la función, f(x)=senx-2x+3, tiene una raíz en el intervalo (1, 2). Aproxima el valor de esta raíz a las centésimas. (Para lo que utilizaremos el método anterior, teniendo en cuenta que debido a su complejidad suele realizarse con ordenador)

Para demostrar que tiene una raíz en el intervalo tenemos que estudiar si se verifica el teorema de bolzano, para ello se tiene que cumplir que:

f(x) es continua en el intervalo (1,2): lo cual se cumple ya que es continua en todos los reales.

f(1)f(2)0 y f(2)<0, también se cumple.

Por tanto podemos afirmar, que existe un c en el intervalo (1,2) tal que f(c)=0

Para hallar la aproximación vamos obteniendo los valores de c realizamos los pasos anteriores, que los podemos ver en el siguiente cuadro:

-Corolario de otros teoremas

Otra de las razones de la importancia de este teorema es su uso en la demostración de otros teorema del cálculo, como ocurre con el teorema de los valores intermedios:

Teorema: Dada una función continua en el intervalo [a,b], entonces para cada valor de la función u, con f(a)<u<f(b), existe un punto c perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que f(c)=u.

Lee todo en: Teorema de Bolzano | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/teorema-de-bolzano#ixzz3KgEnmI6B

Os dejo también los enunciados y los ejercicios de los teoremas de Bolzano y Weierstrass  en una ficha:
Enunciados y ejercicios

Teoría y ejemplos del tema Límites y Continuidad de funciones MATEMÁTICAS II

De la página del departamento de Matemáticas del Ies Complutense os traigo teoría y problemas de los temas de límites de funciones y continuidad:
Tema límite y continuidad de funciones

Y los enunciados de los ejercicios.
Ejercicios límites y continuidad de funciones

FICHAS DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN LÍMITES Y CONTINUIDAD Matemáticas II

Refuerzo Sucesiones y límites de funciones con soluciones
Ampliación Sucesiones y límites de funciones con soluciones

Refuerzo Límites y continuidad con soluciones
Ampliación Límites y continuidad con soluciones

Solucionario Continuidad de funciones Matemáticas II

Después de trabajar con los límites de funciones, vamos a aplicar conceptos en el estudio de la continuidad de funciones Solucionario Continuidad de funciones

Ejercicios de Límites de funciones resueltos

Aquí tenéis ejercicios resueltos de la editorial Anaya para que podáis practicar los contenidos de la unidad LÍMITE DE FUNCIONES:

EJERCICIOS Y SOLUCIONES DE LÍMITE DE FUNCIONES

Solucionario Límites de funciones Matemáticas II

Nos embarcamos en el bloque de ANÁLISIS MATEMÁTICO..... empezamos con los límites!!
Solucionario Límites de funciones